Sfb 288 Differential Geometry and Quantum Physics

Geometrie, Algebraische Quantenfeldtheorie und das Formfaktorprogramm

Leitung:

Dr. Michael Karowski Prof. Dr. Robert Schrader

Das Zusammenspiel geometrischer und quantenfeldtheoretischer Strukturen zeigt sich vorrangig in zwei Phänomenen. Zum einen nötigen topologische Eigenschaften niederdimensionaler Quantenfeldtheorie zur Annahme exotischer Ladungsstrukturen mit anyonischer oder gar plektonischer Statistik. Damit verbunden ist die Notwendigkeit, allgemeinere Symmetriestrukturen in Eichtheorien 1. Art zu betrachten, wie es z.B. schwache Hopf-Algebren leisten. Bei der operatoralgebraischen Beschreibung der o.g. allgemeinen Symmetriestrukturen und ihrer Anwendung auf offene Probleme geht es um Erweiterungen der a priori gegebenen Struktur (das ist das Netz der lokalen Algebren, in dem die symmetrie- erzeugenden Eigenschaften kodiert sind), so dass die Symmetrie explizit erscheint. Das erfordert die Untersuchung ausge- waehlter Teile der Erweiterungstheorie von C*-Algebren (Kohomologie, Cuntz-Algebren, Hopf-Algebren, Hilbert-Module), insbesondere solcher Modelle, in denen die Sektorstruktur, zumindest partiell, im Zentrum kodiert ist. Zum anderen spiegeln sich geometrische Verhältnisse in der Netzstruktur der algebraischen Formulierung von Quanten feldtheorien wider. Hier stellt sich natürlich unmittelbar die Frage, wie man aus quantenfeldtheoretischen Strukturen Aussagen über die zugrundeliegende Raum-Zeit zurückgewinnen kann. Um diese allgemeinen Fragen zu studieren, sind Modellbetrachtungen äußerst nützlich. Besonders geeignet sind hierzu die integrablen Quantenfeldtheorien, wie z.B. das SU(N)-Thirringmodell in (1+1)-Dimensionen mit auftretender abelscher Zopfgrupenstatistik, und die zum größten Teil allgemein im Rahmen der affinen Toda Theorien zusammengefaßt werden können. Bildeten beide Aspekte ursprünglich die Basis zweier Teilprojekte, so zeigte sich im Verlauf der letzten Bewilligungsperiode, daß eine Bündelung sinnvoll ist. Innere und äußere Symmetrien von Quantenfeldtheorien in niederen Dimensionen sind engstens verquickt und die erzielten Ergebnisse beider Teilbereiche sollen in einem, nun zusammengefaßten Projekt auf die wichtigen noch offenen Probleme angewandt werden.