Sfb 288 Differential Geometry and Quantum Physics

Spektraltheorie eichperiodischer Operatoren

Leitung:

Prof. Dr. Jochen Brüning

Die Spektraltheorie der Schrödinger-Operatoren mit periodischem Potential ist ein klassisches Arbeitsfeld der mathematischen Physik. Auch wenn die grundsätzlichen Fragen zur Natur des Spektrums mittlerweile als geklärt betrachtet werden können, sind doch feinere Fragen, wie die nach der Anzahl der Lücken im Spektrum (Bethe-Sommerfeld-Vermutung), immer noch Gegenstand intensiver Untersuchungen.Nimmt man, physikalisch gesprochen, periodische Magnetfelder in die Modellierung auf, so entsteht eine größere Klasse von Operatoren mit neuartigen Spektraleigenschaften wie Eigenwerten unendlicher Vielfachheit (Landau-Niveaus) oder gar Spektren, die Cantor-Mengen sind. Diese "magnetischen" Schrödinger-Operatoren mit "Periodizität" vertauschen immer noch mit einer Familie von Isometrien, den sogenannten magnetischen Translationen, die jedoch nur noch eine projektive Darstellung des Periodengitters erzeugen.Man kann sich nun fragen, inwieweit die bekannten Spektraleigenschaften der magnetischen Schrödinger-Operatoren tatsächlich bestimmt sind durch die natürlich mit dem Problem verknüpften C*-Algebren (in diesem Fall handelt es sich um die sog. Rotationsalgebren); diese C*-Algebren treten ebenso natürlich auf bei der Untersuchung entsprechender Diskretisierungen (Harpers Gleichung). Ein Hinweis auf solche Zusammenhänge ist die Bemerkung von Sunada, daß die sog. Kadison-Eigenschaft Bandstruktur des Spektrums zur Folge hat. Die betrachteten Operatoren ordnen sich so in eine viel größere Klasse ein, deren systematische Untersuchung erst ganz am Anfang steht; wir nennen sie "eichperiodische elliptische Operatoren".Das geplante Forschungsprojekt hat die Spektraltheorie dieser Operatoren zum Gegenstand, soweit sie sich in Termen der Eichtransformationen darstellen läßt. Es ist zu hoffen, daß eine neue Perspektive für eine Fülle bekannter Resultate entwickelt werden kann, die dann zu einfacher formulierbaren, aber vielleicht viel weitreichenderen Struktureigenschaften des Spektrums dieser Operatoren führen wird. Für diese Untersuchungen wird eine Vielzahl von Methoden wichtig sein, insbesondere die Sichtweise der nichtkommutativen Differentialgeometrie von Alain Connes.