Sfb 288 Differential Geometry and Quantum Physics

Quantenmechanische Modelle

Leitung:

Prof. Dr. Ruedi Seiler

Geometrische Konzepte spielen in der qualitativen Analyse quantenmechanischer Modelle eine wichtige Rolle. So hat es sich gezeigt, daß gewisse Transportkoeffizienten in der Quantenmechanik fester und flüssiger Systeme durch die adiabatische Krümmung ausgedrückt werden können und somit geometrischer Natur sind. Diese Beobachtung hat ihre Wurzeln in der Analyse des ganzzahligen Quanten-Hall-Effektes. Besonders einfach läßt sich diese Vorstellung im Rahmen diskreter Modelle vom Hofstadter-Typ realisieren.

Ein zweiter Aspekt, der die Bedeutung geometrischer Konzepte für gewisse Modelle der Quantenmechanik erkennen läßt, ist die recht neue Erkenntnis, daß Hamiltonoperatoren vom Hofstadter-Typ als Quantenintegrale diskreter integrabler Systeme auftreten. Das typische Beispiel dafür ist das doppelt-diskrete Quantenpendel, das von der quantisierten diskreten Sinus-Gordon-Theorie abgeleitet ist. Dieses Modell wiederum beschreibt eine quantisierte diskrete Fläche mit konstanter negativer Krümmung (vgl. Teilprojekt A1 und C1).

Parallel zu den genannten Entwicklungen hat sich in der Beschreibung des fraktionalen Quanten-Hall-Effektes die Chern-Simons-Wirkung als besonders wichtig herausgestellt. Auch sie hat einen geometrischen Charakter.

Wir schlagen vor, Eigenschaften quantenmechanischer Modelle von einem geometrischen Standpunkt aus zu analysieren. Im einzelnen soll untersucht werden:

1. Der adiabatische Ladungstransport für wechselwirkende Systeme im Rahmen der relativen Indextheorie.
2. Der Einfluß des Spins und die Eigenschaften von Spinströmen.
3. Die Transporttheorie im Luttinger-, Heisenberg- und Hubbardmodell.
4. Transportkoeffizienten in diskreten Modellen.
5. Die Methode des Bethe-Ansatzes für diskrete Modelle vom Hofstadter-Typ.
6. Die antiferromagnetische Spinordnung im Hubbardmodell bei halber Füllung und, für die Hartree-Fock-Approximation, für andere Teilchendichten.

Davon unabhängig schlagen wir die Untersuchung der Quantenelektrodynamik nichtrelativistischer Elektronen vor. In der jüngeren Vergangenheit ist der Frage nach der quantenmechanischen Dynamik von Elektronen im elektromagnetischen Feld große Aufmerksamkeit gewidmet worden. So ist das Stabilitätsproblem für Coulombsysteme im äußeren (klassischen) elektromagnetischen Feld jüngst auf elegante Weise gelöst worden. Auch die Kopplung von Elektronensystemen an das quantisierte elektromagnetische Feld ist in den vergangenen Jahren intensiv untersucht worden. Im Zusammenhang mit diesem quantenfeldtheoretischen Modell schlagen wir folgende weitere Punkte zur Untersuchung vor:

1. Die funktionalanalytische Verallgemeinerung der von Bach, Fröhlich und Sigal in [BFS-96] entwickelten Renormierungsgruppe und die Übertragung auf andere quantenmechanische Modelle.
2. Das Ultraviolettproblem für ein freies, nichtrelativistisches Elektron.