Sfb 288 Differential Geometry and Quantum Physics

Gitterfeldtheorie, Integrable Systeme und Quantensymmetrie

Leitung:

Dr. Michael Karowski Prof. Dr. Robert Schrader

Gitterformulierungen quantenfeldtheoretischer Modelle haben sich als äußerst nützliche Hilfsmittel erwiesen, um mit Hilfe analytischer und numerischer Methoden nichtstörungstheoretische Aussagen zu gewinnen. Ausgangspunkte sind hierbei:

• Das euklidische Funktionalintegral in der Quantenfeldtheorie, dessen Gitterregularisierung in natürlicher Weise auf Modelle der statistischen Physik und deren Transfermatrixformalismus führt.
• Yang-Baxter-Algebren, Betheansatz und andere Methoden für integrable Systeme.
• Lokale Algebren auf Gittern.

In diesem Teilprojekt sollen vorwiegend strukturelle Eigenschaften von Modellen in 1+1 und 2+1 Dimensionen und die durch sie aufgeworfenen mathematischen Fragestellungen untersucht werden. Es ist eine Untergliederung in folgende Themenbereiche vorgesehen:

1. Integrable Systeme
2. Verallgemeinerter Betheansatz
3. Topologische Quantenfeldtheorien
4. Quantensymmetrien und Zopfgruppenstatistik

Die Aufgabenstellungen in den einzelnen Themenbereichen lassen sich folgendermaßen zusammenfassen:

Integrable Systeme
Ungeordnete magnetische Systeme hervorgerufen durch Spin-Spin Wechselwirkungen mit stochastisch verteilten Kopplungskonstanten - sogenannte "Spingläser" - werden mit teilweise widersprüchlichen Ergebnissen diskutiert. Einen Beitrag zur Klärung dieser Widersprüche kann ein "Stochastisches Heisenbergmodell" leisten. Es handelt sich um ein integrables modifiziertes Heisenbergmodell, bei dem Zwei- und Drei-Spinkopplungen auftreten. Die Kopplungskonstanten können an verschiedenen Gitterpunkten verschiedene Werte annehmen. Das Modell kann mit Hilfe des Betheansatzes gelöst werden. Wie zu erwarten zeigt sich, daß infolge von Frustration der Grundzustand typischerweise hoch entartet ist. Die Konsequenzen dieses Phänomens zusammen mit statistisch verteilten Kopplungen sollen untersucht werden.Eine andere Modifikation von integrabel Spinketten sind Ketten mit alternierenden Spins unterschiedlicher Größe und letztlich beliebig verteilten Spins. Das Problem liegt dabei hauptsächlich in der Erarbeitung von Lösungsmethoden für die Gleichung des thermodynamischen Betheansatzes.

Verallgemeinerter Betheansatz
Der konventionelle Betheansatz wird benutzt um Eigenwertprobleme (z.B. von Hamiltonoperatoren 1-dimensionaler Magneten) zu lösen. Dabei impliziert die Eigenwertgleichung die Betheansatzgleichungen, welche die Parameter des Ansatzes festlegen. Der verallgemeinerte Betheansatz (auch Öff-shell-Betheansatz" genannt) ist geeignet, um Matrixdifferenzengleichungen zu lösen (bzw. im Grenzfall Matrixdifferentialgleichungen wie die Knizhnik-Zamolodchikov-Gleichungen der konformen Quantenfeldtheorie). Im Fall des verallgemeinerten Betheansatzes werden die Parameter nicht fixiert, sondern es wird über sie summiert in Form eines Jackson-Integrals (bzw. im Grenzfall normal integriert). Falls die Matrizen höherdimensional sind muß die genestete Version des verallgemeineten Betheansatzes konstruiert werden. Das ist das zu lösende Problem.

Topologische Quantenfeldtheorien
Dieser Themenbereich beinhaltet im wesentlichen eine Fortsetzung des vorherigen Antrags. Zum einen sollen durch Vergleich der numerischen Ergebnisse für Invarianten von 3-Mannigfaltigkeiten mit einer formalen asymptotischen Entwicklung des Witten'schen Chern-Simons-Funtionalintegrals Größen wie die Chern-Simons Invarianten von flachen SU(2)-Bündeln und deren Reidemeistertorsionen numerisch bestimmt werden.In einem zweiten Projekt soll der algebraische Zugang zur Gitter Chern-Simons Theorie von Alekseev et al. [AGS] analysiert bzw. modifiziert werden, mit dem Ziel, sowohl einen Zusammenhang mit den Viro-Turaev Zustandssummen als auch mit den aus der Kontinuumstheorie bekannten Methoden und Ergebnissen (Weyl-Algebra Quantisierung, Osterwalder-Schrader Rekonstruktion, Knoteninvarianten) herzustellen.

Quantensymmetrien und Zopfgruppenstatistik
Quantengruppen, d.h. Hopfalgebren und deren (quasi-coassoziative und/oder schwache) Verallgemeinerungen spielen als gemeinsames Symmetriekonzept sowohl in den Themenbereichen b)-d) dieses Teilprojekts, als auch in den Teilprojekten F1 und F2 (im Zusammenhang mit Zopfstatistik und Inklusionen von Algebren) eine zentrale Rolle. Daher bietet dieser Themenbereich enge Verbindungen zum Projektbereich F.Es sollen hier sowohl mathematische Grundlagen weiterentwickelt als auch Fragen untersucht werden, die anhand konkreter physikalischer Modelle entstehen.Die mathematischen Themen umfassen hierbei u.a. quasi-coassoziative Strukturen, schwache Hopfalgebren und ihre Rolle in der Jones Theorie sowie Ocneanu's Graph-Algebren und Standard-Invarianten.Die zu untersuchenden Gittermodelle beinhalten algebraische Formulierungen RSOS-artiger Modelle, Hopfspinketten, Gitterversionen von Stromalgebren und (2+1)-dimensionale Z_N-Higgsmodelle. Hierbei sollen die Begriffsbildungen und Methoden der algebraischen Quantenfeldtheorie (wie Observablen-, Feld-, Symmetriealgebra, Sektoren, Streutheorie) geeignet übertragen und analysiert werden. Die konventionellen Begriffe der statistischen Mechanik wie Phasenübergang, Ordnungsparameter usw. sollen ebenfalls in dieser Sprache interpretiert werden.