Sfb 288 Differential Geometry and Quantum Physics

Spektraleigenschaften von Dirac- und Laplace-Operatoren und Eichfeldtheorie

Leitung:

Prof. Dr. sc. Thomas Friedrich

Die Laplace- und Dirac-Operatoren Riemannscher und pseudo-Riemannscher Mannigfaltigkeiten spielen in verschiedenen Zweigen der Mathematik und Mathematischen Physik eine wichtige Rolle. Von Interesse sind Indexfragen und Spektraleigenschaften des Dirac-Operators in Abhängigkeit von der Geometrie des Grundraumes oder in Abhängigkeit von einem zusätzlich gekoppelten Eichpotential. Weitgehend noch unverstanden ist die Geometrie von Mannigfaltigkeiten mit harmonischen Spinoren mit Spin 1/2 oder höherem sowie Spektraleigenschaften des Dirac-Operators auf pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Extremale Situationen im Spektrum führen einerseits zu Spinorfeldern, welche Lösungen von verallgemeinerten Twistorgleichungen sind, und andererseits induzieren diese Spinorfelder spezielle geometrische G-Strukturen im Sinne des Holonomietheorems auf dem Grundraum samt den daraus resultierenden Existenz- und Klassifikationsfragen. Mit Eichfeldern einer U(1)-Theorie gekoppelte harmonische Spinoren gehen in die Konstruktion der Seiberg-Witten-Invarianten ein. Diese haben insbesondere für die 4-dimensionale Topologie und symplektische Geometrie grundlegende Bedeutung gewonnen.