Sfb 288 Differential Geometry and Quantum Physics

Integrable Systeme in der Differentialgeometrie

Leitung:

Prof. Dr. Alexander Bobenko Prof. Dr. Ulrich Pinkall

Flächen konstanter mittlerer Krümmung oder Gaußscher Krümmung, Minimalflächen, harmonische Abbildungen von Flächen, elastische Kurven und andere klassische Probleme der Differentialgeometrie führen auf Solitonengleichungen, d.h. auf nichtlineare, vollständig integrable hamiltonische Evolutionsgleichungen. Es sollen hier speziell die folgenden vier Themenbereiche untersucht werden:

Quaternionische Funktionentheorie und Flächen
Hier soll die Differentialgeometrie von Flächen im Raum als quaternionische Verallgemeinerung der komplexen Funktionentheorie aufgebaut und auf verschiedene geometrische Problemstellungen angewandt werden. Insbesondere sollen auf diese Weise Ideen, die bisher nur in Zusammenhang mit integrablen Systemen (Flächen konstanter Krümmung etc.) gesehen wurden, für das Studium allgemeiner Flächen fruchtbar gemacht werden.

Painlevésche Gleichungen in der Differentialgeometrie
Painlevésche Differentialgleichungen sind nicht-lineare gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung, deren Lösungen keine beweglichen wesentlichen Singularitäten und algebraischen Verzweigungspunkte haben. Viele interessante geometrische Probleme lassen sich durch Painlevésche Gleichungen beschreiben. Weitere Beispiele solcher Geometrien sollen gefunden und mit Hilfe der modernen Analysis der Painlevéschen Gleichungen untersucht werden.

H-Flächen und Dressingwirkung
Auf dem Raum der Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung operiert eine unendlichdimensionale Gruppe. Diese Wirkung nennt man Dressing. Diese Gruppenwirkung, insbesondere deren Orbitstruktur, soll unter geometrischen Gesichtspunkten untersucht werden.

Baker-Akhiezer Funktionen und Minimalflächen
Hier sollen Helikoide mit mehreren Henkeln konstruiert werden. Für die Weierstraß-Darstellung benötigt man Funktionen mit wesentlichen Singularitäten auf kompakten Riemannschen Flächen. Solche Funktionen sind als Baker-Akhiezer Funktionen in der Theorie der integrablen Systeme bereits gut studiert.

Lokale Darstellungsformeln für Minimalflächen
Mit Hilfe eines begleitenden Dreibeins und eines Frenetschen Gleichungssystems , das dem der klassischen Kurventheorie sehr ähnelt, lassen sich Darstellungformeln der minimalen Kurven im C³ finden, die interessante Eigenschaften, wie z. B. Äquivarianz in bezug auf einen Gruppenhomomorphismus von Gl(2,C) in die komplex konforme Gruppe CO(3,C) besitzen. Zum Teil sind diese Formeln frei von Integrationen, daher algebraisch gut handhabbar, und ermoeglichen explizite Darstellungen von Deformationen von Minimalflaechen.